工学系大学院生のブログ

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第12-3回 化学反応を伴う輸送係数 [julia, python]



*コードは第12-5回にあります。





今回は、数値計算において使用する係数についての求め方を記載します。

紹介する化学反応は\(\textrm{N}_2, \textrm{N}\)による化学反応になりますので、燃焼による化学反応の場合はまた別に論文を参考にしてください。


計算において必要な輸送係数は下記の通りです。



粘性係数\(\mu\)[1]、熱伝導係数\(\lambda\)[1]、各化学種の拡散係数\(D_s\)[2]です。

それぞれの文献における求め方を紹介していきます。


これらの係数を求めるにあたり、まず各化学種同士の衝突断面積を求める必要があります。



衝突断面積\(\pi \bar{\Omega}_{i,j}^{(1,1)}, \pi \bar{\Omega}_{i,j}^{(2,2)}\)[3]は次のように計算され、それぞれの係数を求める際に使用されます。

\(i, j\)は衝突する2つの化学種を指します。


\begin{eqnarray}
\pi\overline{\mit\Omega}^{(1, 1)}_{i, j} &= \left[ \exp \left(D^{(1, 1)}_{i, j}\right) \right] T^{ \left[ A^{(1, 1)}_{i, j}(\ln T)^{2} +B^{(1, 1)}_{i, j}\ln T +C^{(1, 1)}_{i, j} \right] }
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \pi\overline{\mit\Omega}^{(2, 2)}_{i, j} &= \left[ \exp \left( D^{(2, 2)}_{i, j} \right) \right] T^{ \left[A^{(2, 2)}_{i, j}(\ln T)^{2} +B^{(2, 2)}_{i, j} \ln T +C^{(2, 2)}_{i, j} \right] }
\end{eqnarray}


\(A, B, C, D\)の定数は文献[3]に記載されています。




さらに計算で使用する文字を下記に記載します。

\begin{eqnarray}
X_{i} = \frac{\displaystyle{\frac{\rho_i}{M_i}}}{{\displaystyle{{\sum_{j}^{ns}} \displaystyle{\frac{\rho_j}{M_j}}}}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
C_{i} = \frac{\rho_i}{{\displaystyle{{\sum_{j}^{ns}} \rho_j}}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle{\mit\Delta}^{(1)}_{i, j} (T) &= \frac{8}{3}\left[\frac{2m_i m_j}{\pi k T (m_i + m_j)} \right]^{1/2} \pi\overline{\mit\Omega}^{(1, 1)}_{i, j}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\displaystyle{\mit\Delta}^{(2)}_{i, j} (T) &= \frac{16}{5}\left[\frac{2m_i m_j}{\pi k T (m_i + m_j)} \right]^{1/2} \pi\overline{\mit\Omega}^{(2, 2)}_{i, j}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
A_{i,j}^{} &= \displaystyle{\frac{\pi\overline{\mit\Omega}^{(2, 2)}_{i, j} }{\pi\overline{\mit\Omega}^{(1, 1)}_{i, j}}}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
B_{i,j}^{}
&= \displaystyle{\frac{5 \pi\overline{\mit\Omega}^{(1, 2)}_{i, j} – 4 \pi\overline{\mit\Omega}^{(1, 3)}_{i, j}}{\pi\overline{\mit\Omega}^{(1, 1)}_{i, j}}}
\end{eqnarray}



これらの値を用いて輸送係数は下記のように計算されます。

\begin{equation}
\mu=\sum_{i}^{ns} \left[ \frac{m_i X_i}{\displaystyle{\sum_{j}^{ns} X_j {\mit\Delta}^{(2)}_{i, j} (T) }} \right]
\end{equation}

\begin{equation}
\lambda = \frac{15}{4} k \sum_{i}^{ns} \left[\frac{X_i}{\displaystyle{\sum_{j}^{ns} \alpha_{ij} X_j {\mit\Delta}^{(2)}_{i, j} (T)}}\right] \end{equation}

\begin{equation} \alpha_{ij} = 1 + \frac{\left[1 – \left( m_i/m_j \right) \right] \left[ 0.45 – 2.54 \left( m_i/m_j \right) \right]}{\left[ 1 + \left( m_i/m_j \right) \right]^2}
\end{equation}

\begin{equation}
D_s \equiv\frac{1-C_s}{\displaystyle{\sum_{k \ne s}^{ns} X_k/{\cal D}_{sk}}}
\frac{C_s}{X_s}
\end{equation}

\begin{equation}
{\cal D}_{s, k} = \frac{k T}{p {\mit\Delta}^{(1)}_{s, k}(T)}
\end{equation}


ここで、\(k\)がボルツマン定数、\(m_s\)は各化学種の質量、\(X_s\)はモル分率、\(C_s\)は質量分率です。



以上から輸送係数を計算することができます。


コード内では下記のファイルで求めています。

https://github.com/hide-dog/general_2d_NS_Chemical-N2-N-/blob/main/src_c/chemical_constant.jl

https://github.com/hide-dog/general_2d_NS_Chemical-N2-N-/blob/main/src_c/chemical_term.jl


次回は生成速度を求めます。


by hide





Reference

[1] J. M. YOS, “Transport properties of nitrogen, hydrogen, oxygen and air to 30,000k,” AVCO
Tech. Mem. RAD-TM-63-7, ASTIA Doc. AD-435-053, 1963. \

[2] C. F. Curtiss and J. O. Hirschfelder, “Transport properties of multicomponent gas mixtures,” The Journal of Chemical Physics, vol. 17, no. 6, pp. 550–555, 1949. doi: 10.1063/1.1747319.\

[3] R. T. R.N. Gupta J.M. Yos and K. Lee, “A review of reaction rates and thermodynamic and transport properties for an 11-species air model for chemical and thermal nonequilibrium calculations to 30000 k,” NASA, Tech. Rep. RP-1232, 1990\

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