工学系大学院生のブログ

2人の大学院生による雑記ブログ

院試対策:材料力学① 北海道大学

問題の図

 院試で勉強したことを忘れないうちに、まとめておきたいと思います!
 北海道大学と東京大学を今後まとめていく予定です。

問題設定(上画像参照)

さて、今回は北海道大学院の過去問と似た問題設定で説明します。
 ・天井と床に固定された2つの溶接された円柱状の部材があります。細い方の部材を棒1、太い方の部材を棒2とします。
 ・部材の間には、剛体のつばが挟んであります。
 ・部材のヤング率はEで同じです。
 ・棒1の横断面積を\(A_1\), 長さを\(l_1\)
 ・棒2の横断面積を\(A_2\), 長さを\(l_2\)
 ・棒とつばの質量は無視
 ・棒1には重りとして重さWの剛体リングが通っている。

問題
(1)リングをつばの上に置き静止させた。天井が棒1に及ぼす反力の大きさと向きを求めよ。この時の変位\(λ_0\)はいくつか?
(2)リングをリングの下面とつばの間の高さがhになるように持ち上げ落とした。リングはつばと一体となって下向きに変化する。最大変位を\(λ_0\), hを用いて表せ。

解答と解説

(1)の解答と解説

問題文を見て最初に考えたのは、「この剛体つばの役割は何なんだ?」という事です。結論から言うと、力の釣り合いを考え易くしてくれています。まず。部品をばらしてそれぞれの力の釣り合いを見ていきましょう。内力は引っ張りを仮定します。


 棒1にかかる力は図の通りです。これは、棒2も同様です。式で表すと、以下の通りです。

$$EA_1\frac{\lambda_0}{l_1}=R_1$$
$$EA_2\frac{\lambda_0}{l_1}=R_2$$

次に剛体つばに関して力の釣り合いを考えます。

$$W+R_2=R_1$$

これで、3つの未知数に対して3つの式が立ったことになります。連立すると答えは次の通りです。
(1)答え \(λ_0=\frac{Wl_1l_2 }{E(A_1l_2-A_2l_1)}\)



(2)の解答と解説

さて、続いて(2)を考えていきましょう!
重りを落す前と最大変位\(λ_max\)となった瞬間でエネルギーの保存式を立てます。

重りを落とす前の系のエネルギーは、重りのエネルギーWhです。

最大変位点での系のエネルギーは、
重りの位置エネルギー:\(-Wλ_{max}\)
棒1のひずみエネルギー:\(\frac{E}{2} \left(\frac{λ_{max}}{l_1}\right)^2A_1l_1\)
棒2のひずみエネルギー:\(\frac{E}{2} \left(\frac{λ_{max}}{l_2}\right)^2A_2l_2\)

これでエネルギーの保存式が立てられます。\(\lambda_{max}\)に関する2次方程式ですね!解の公式を使って解くと、結果は以下のようになります。

\(\lambda_{max}=\frac{W\pm\sqrt{W^2+4AWh}}{2A}\)

変形しやすくするために、
\(A=\frac{E(Al_2+Al_1)}{2l_1l_2}\)
とおきました。

ここで、「おや?」っと気づかなくてはなりません!
「なんだか\(\lambda_0\)に似てないか?」と

(2)答え\(\lambda_{max}=\lambda_0+\sqrt{\lambda_0^2+2h\lambda_0}\)

解の吟味をお忘れなく!

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コメント

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