院試対策：材料力学① 北海道大学
院試で勉強したことを忘れないうちに、まとめておきたいと思います！
北海道大学と東京大学を今後まとめていく予定です。
問題設定（上画像参照）
さて、今回は北海道大学院の過去問と似た問題設定で説明します。
・天井と床に固定された2つの溶接された円柱状の部材があります。細い方の部材を棒1、太い方の部材を棒2とします。
・部材の間には、剛体のつばが挟んであります。
・部材のヤング率はEで同じです。
・棒1の横断面積を\(A_1\), 長さを\(l_1\)
・棒2の横断面積を\(A_2\), 長さを\(l_2\)
・棒とつばの質量は無視
・棒1には重りとして重さWの剛体リングが通っている。
問題
（１）リングをつばの上に置き静止させた。天井が棒1に及ぼす反力の大きさと向きを求めよ。この時の変位\(λ_0\)はいくつか？
（２）リングをリングの下面とつばの間の高さがhになるように持ち上げ落とした。リングはつばと一体となって下向きに変化する。最大変位を\(λ_0\), hを用いて表せ。
解答と解説
（１）の解答と解説
問題文を見て最初に考えたのは、「この剛体つばの役割は何なんだ？」という事です。結論から言うと、力の釣り合いを考え易くしてくれています。まず。部品をばらしてそれぞれの力の釣り合いを見ていきましょう。内力は引っ張りを仮定します。
棒1にかかる力は図の通りです。これは、棒2も同様です。式で表すと、以下の通りです。
$$EA_1\frac{\lambda_0}{l_1}=R_1$$
$$EA_2\frac{\lambda_0}{l_1}=R_2$$
次に剛体つばに関して力の釣り合いを考えます。
$$W+R_2=R_1$$
これで、3つの未知数に対して3つの式が立ったことになります。連立すると答えは次の通りです。
（１）答え \(λ_0=\frac{Wl_1l_2 }{E(A_1l_2-A_2l_1)}\)
（２）の解答と解説
さて、続いて（２）を考えていきましょう！
重りを落す前と最大変位\(λ_max\)となった瞬間でエネルギーの保存式を立てます。
重りを落とす前の系のエネルギーは、重りのエネルギーWhです。
最大変位点での系のエネルギーは、
重りの位置エネルギー:\(-Wλ_{max}\)
棒１のひずみエネルギー:\(\frac{E}{2} \left(\frac{λ_{max}}{l_1}\right)^2A_1l_1\)
棒2のひずみエネルギー:\(\frac{E}{2} \left(\frac{λ_{max}}{l_2}\right)^2A_2l_2\)
これでエネルギーの保存式が立てられます。\(\lambda_{max}\)に関する2次方程式ですね！解の公式を使って解くと、結果は以下のようになります。
\(\lambda_{max}=\frac{W\pm\sqrt{W^2+4AWh}}{2A}\)
変形しやすくするために、
\(A=\frac{E(Al_2+Al_1)}{2l_1l_2}\)
とおきました。
ここで、「おや？」っと気づかなくてはなりません！
「なんだか\(\lambda_0\)に似てないか？」と
（２）答え\(\lambda_{max}=\lambda_0+\sqrt{\lambda_0^2+2h\lambda_0}\)
解の吟味をお忘れなく！
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