第0回　数値解析（\(\sqrt{2}\)）

　pythonを用いて数値解析を行っていきたいと思います。

数値解析（すうちかいせき、Numerical Analysis）は、数学および物理学の一分野で、代数的な方法で解を得ることが不可能な解析学上の問題を（通常は有限精度の）数値を用いて近似的に解く手法に関する学問である。

「数値解析」『 フリー百科事典　ウィキペディア日本語版 』. 2019年2月15日（金）12:00 UTC, URL:https://ja.wikipedia.org/wiki/数値解析.

　僕たちは学校で数学を習い、当たり前のように \(\sqrt{x}\) や \(sin x\) を用いて答えを出します。

　しかし、実際にものづくりをする際には「\(\sqrt{2}\) メートルの長さに切ってください」なんて言いませんし、無理数なので正確に切ることができません。

　そこで今回は数値解析で \(\sqrt{2}\) を有効数字3桁で求めたいと思います。

　まず、下記の式を考えます。

$$f(x)=x^2-2$$

　この式の解は \(\pm\sqrt{2}\) となります。つまり上式において、 \(f(x)=0\) (\(x\geq0\) ) となる \(x\) を求めればよいわけです。

　今回用いる簡易ニュートン法の式は下記のとおりです。

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f'(x)}$$

　\(f(x)\) がわかっていますので代入し整理します。

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}$$

$$x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}$$

　適当な初期値 \(x_0\) からはじめ更新していきます。 \(1.0\times10^{-4}\geq{f(x_i)}\) となったら終了とします。

　使用したpythonのコードは最後に張っておきます。

　初期値 \(x_0=2.0\) で始めたところ、1ステップ毎の結果は下記の通りです。

2.0
1.5
1.4166666666666665
1.4142156862745097

　精度の高い値と比較すると小数第5まで一致していることがわかると思います。

1.4142156862745097
1.41421356（一夜 一夜に人見ごろ）

結論
\(\sqrt{2}\) メートル は \(1.41\) メートル

　これも立派な数値解析です。こんな感じで微分方程式に対していろいろやっていきたいです。

　備忘録であり、コードに関しては諸々あると思いますが、ご了承ください。

　pythonで書いていきます。何かの役に立てば幸いです。

　よろしくお願いします。

　by hide

xn = 2.0    # 初期値

while True:
    print(xn)
    if abs(2-xn**2) < 1.0*10**(-4):    # 判定
        break
    xn = xn/2 + 1/xn