工学系大学院生のブログ

2人の大学院生による雑記ブログ

第0-A回 簡易ニュートン法




 簡易ニュートン法の導出になります。


 まずは次のような図を考えます。


 ある位置 \(x_i\) における \(f(x)\) の接線の方程式を考えます。この式の傾きは \(f'(x_i)\) 、また点 \((x_i,f(x_i))\) を通るので次のように表されます。


$$y=f'(x_i)x+(f(x)-f'(x_i)x_i)$$


この接線と \(x\) 軸との接点を点 \((x_{i+1},0)\)として、上式に代入して整理すると下記の通り簡易ニュートン法の式が求められます。


$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x)}{f'(x)}$$


 これを順次繰り返すことで、少しずつ \(f(x)=0\) の解に近づくことがわかるかと思います。



 ただし、この方法では解が複数ある場合には初期値によって行き着く解が異なることに注意が必要です。下記の式を例に挙げます。


$$f(x)=x^2-2$$


初期値  10 → \(\sqrt{2}\)
初期値  0   → 接線が \(x\) 軸と交わらず,0 割りとなるため計算不可能
初期値 -10 → \(-\sqrt{2}\)


by hide

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