工学系大学院生のブログ

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第8-1回 一般座標系[python,julia]




$$\frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} + \frac{\partial \hat{E}}{\partial \xi}+\frac{\partial \hat{F}}{\partial \eta}+\frac{\partial \hat{F}}{\partial \eta}=0$$


第8回では,非定常熱伝導方程式を通じて一般座標系について掘り下げていきます.

一般座標系における二次元非定常熱伝導方程式


ゴールは上の図のようなものになります.

1 複雑な形状に対する解析

今まではあまり計算格子について考えない解析を行ってきました.

というのも,格子間隔が一定だったり,格子が正方形だったからです.(直交格子)

そうであれば,速度や流束が格子に沿って計算できるので気にする必要がありません.



しかし,複雑な形状の物体に対する解析では,格子がとても重要になってきます.


具体的に,上記のような丸い物体の解析を行うとします.

この場合,物体の領域は下記の赤い領域になります.


当然ながら円に近い形とはいえません.格子がそれなりにあれば,円に近付きますが,どうしても格子は垂直にできてしまいます.


そこで,次のように境界に沿って格子を張ります.

これが「境界適合格子」です.


境界に沿った格子であるため,境界条件が簡単に適用でき,物体に沿った流れ場等をしっかり解像できます.衝撃波や境界層の解析には影響がでやすいと言われています.


このページの最後に,直交格子で解析を行う手法であるカットセル法や適合格子細分化法について簡単に書いておきます.


2 一般座標系


境界適合格子に対してはどのような式を立てればいいのでしょうか.


そこで考えられた方法が一般座標系になります.


こちらの半円の格子に対して,一般座標系を取ってみます.

普通の座標系,いわゆるデカルト座標系ではx,yがそれぞれ直交するように取られています.

そして,一般座標系では\(\xi\)と\(\eta\)を図のように取ります.

\(\xi\)は円周に沿う様に,\(\eta\)は\(\xi\)に直交するように取ります.




そのままだとメリットが分かりにくいので,デカルト座標系のように\(\xi\)と\(\eta\)を使って図を変形すると下記のようになります.



こうすると今まで使用してきた直交系の座標になるため,今までの方法で数値計算を行うことができます.



次回は一般座標系における式変形に取り組みます.

*コードは第8-5回にあります。

by hide





カットセル法

下記のようにセルに対し,直線でセルを分割する.そして,流体側の残った検査体積において積分するという方法.




適合格子細分化法

AMR法や解適合格子とも呼ばれる方法で,下記のように物体近傍においてのみ格子を細かくする方法.

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