2人の大学院生による雑記ブログ
$$\frac{\partial u}{\partial t}+ u\frac{\partial u}{\partial x} =0$$ 今までのまとめとして、上記のバーガース方程式(Burgers eq.)を解いていきます。pythonのコードは最後に張っておきます。 この方程式は一次元Navier-Stokes方程式の圧力項を無視したものになります。 有限体積法のため、上記の式を保存型に変形します。 $$\frac{\partial u}{\partial t}+ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u^2}{2}\right) =0$$ 保存量 \(Q=u\),フラックス \(F=\frac{u^2}{2}\).....
今回は数値流束について計算のため、述べていきます。 改めして一次元で考えます。すると離散化した式は次のようになります。 $$ \frac{Q_{i}^{n+1}-Q_{i}^n}{\Delta t}+\frac{ ( \tilde{f} _{i+1/2}- \tilde{f} _{i-1/2}) }{\Delta x}=0$$ 今回考えるのは数値流束\(\tilde{f}_{i+1/2}\)についてです。この数値流束は下の図のようにセル間の値になります。 この数値流束の決め方には様々なものが提案されています。 今回は有名な一次精度風上差分を用います。 これは前進差分と後退差分を流れの向きに合わせて、選ぶ方法になります。 流れが上記の図のようにx軸を左から右向.....
第4回では有限体積法を用いて、Burgers方程式を具体的に解いていきたいと思います。 有限体積法(Finite Volume Method,FVM)は流体の数値解析でよく使われる手法の一つです。まず、この考え方を説明します。 今までは方程式を点で離散化していましたが、この方法は解析領域を検査体積(control volume)つまり体積で分割します。 上記の図のように考えます。ここで、\(i\)のセルにおいて系は閉じており、両端から出入りする量が分かれば次の計算で答えを求めることができます。 (次の時間の量)=(現在の量)-(出た量)+(入った量) これを方程式で表します。 $$\frac{\partial}{\partial t} \displaysty.....